Congruence

a ≡ b (mod n)   ⟺   n | (a − b)

এটা একটা [[equivalence-relation]] — reflexive, symmetric, transitive তিনটাই। তাই এটা ℤ কে partition করে n টা residue class-এ:

mod 3:  [0] = {…, −3, 0, 3, 6, …}
        [1] = {…, −2, 1, 4, 7, …}
        [2] = {…, −1, 2, 5, 8, …}

Relation আর number theory-র সংযোগটা এখানেই — congruence class আর equivalence class একই জিনিস।

Compatibility: congruence যোগ ও গুণের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ:

a ≡ b, c ≡ d  ⟹  a+c ≡ b+d  এবং  ac ≡ bd   (mod n)

এই ধর্মটাই মাঝপথে mod নেওয়া বৈধ করে, আর modular exponentiation-কে সম্ভব করে।

সতর্কতা — ভাগ ব্যতিক্রম। ac ≡ bc (mod n) থেকে a ≡ b আসে না, যদি না gcd(c, n) = 1। 2·3 ≡ 2·0 (mod 6) কিন্তু 3 ≢ 0। তাই ভাগ করতে [[modular-inverse]] লাগে।